Filtre À Moyenne Mobile Gaussien

Le guide des scientifiques et ingénieurs sur le traitement du signal numérique Par Steven W. Smith, Ph. D. Dans un monde parfait, les concepteurs de filtres n'auraient qu'à traiter des informations codées dans le domaine temporel ou dans le domaine fréquentiel, mais jamais un mélange des deux dans le même signal. Malheureusement, il existe des applications dans lesquelles les deux domaines sont simultanément importants. Par exemple, les signaux de télévision tombent dans cette catégorie méchante. Les informations vidéo sont codées dans le domaine temporel, c'est-à-dire que la forme de la forme d'onde correspond aux motifs de luminosité de l'image. Cependant, lors de la transmission, le signal vidéo est traité en fonction de sa composition en fréquence, comme sa largeur de bande totale, la façon dont les ondes porteuses de l'amplificateur sonore sont ajoutées, la restauration par amplification d'élimination de la composante continue ... Comme autre exemple, Est mieux compris dans le domaine de la fréquence, même si les informations de signaux sont codées dans le domaine temporel. Par exemple, le moniteur de température dans une expérience scientifique pourrait être contaminé avec 60 hertz provenant des lignes électriques, 30 kHz à partir d'une alimentation de commutation, ou 1320 kHz à partir d'une station de radio AM locale. Les parents du filtre de moyenne mobile ont une meilleure performance dans le domaine fréquentiel et peuvent être utiles dans ces applications de domaine mixte. Les filtres de moyenne mobile à passages multiples passent le signal d'entrée à travers un filtre à moyenne mobile deux fois ou plus. La figure 15-3a montre le noyau de filtre global résultant d'une, deux et quatre passes. Deux passages sont équivalents à l'utilisation d'un noyau de filtre triangulaire (un noyau de filtre rectangulaire convolué avec lui-même). Après quatre passages ou plus, le noyau de filtre équivalent ressemble à un Gaussien (rappelons le Théorème de Limite Central). Comme représenté en (b), les passages multiples produisent une réponse de pas en forme de s, par rapport à la ligne droite de la passe unique. Les réponses de fréquence en (c) et (d) sont données par l'équation 15-2 multiplié par lui-même pour chaque passe. En d'autres termes, chaque fois que la convolution du domaine aboutit à une multiplication des spectres de fréquence. La figure 15-4 montre la réponse en fréquence de deux autres parents du filtre de la moyenne mobile. Quand un Gaussien pur est utilisé comme noyau de filtre, la réponse en fréquence est également gaussienne, comme nous l'avons vu au chapitre 11. Le Gaussien est important parce qu'il est la réponse impulsionnelle de nombreux systèmes naturels et artificiels. Par exemple, une brève impulsion de lumière entrant dans une longue ligne de transmission à fibre optique sort comme une impulsion gaussienne, en raison des différents chemins empruntés par les photons à l'intérieur de la fibre. Le noyau de filtre gaussien est également très utilisé dans le traitement d'images car il possède des propriétés uniques qui permettent des circonvolutions bidimensionnelles rapides (voir chapitre 24). La seconde réponse en fréquence de la Fig. 15-4 correspond à l'utilisation d'une fenêtre Blackman comme noyau de filtre. (Le terme fenêtre n'a aucune signification ici, il fait simplement partie du nom accepté de cette courbe). La forme exacte de la fenêtre de Blackman est donnée au chapitre 16 (équation 16-2, figure 16-2), mais elle ressemble beaucoup à une gaussienne. Comment ces parents du filtre de moyenne mobile mieux que le filtre de moyenne mobile lui-même Trois façons: Premièrement, et le plus important, ces filtres ont une meilleure atténuation de bande d'arrêt que le filtre de moyenne mobile. Deuxièmement, les grains de filtres se rétrécissent vers une plus petite amplitude près des extrémités. Rappelons que chaque point du signal de sortie est une somme pondérée d'un groupe d'échantillons provenant de l'entrée. Si le noyau du filtre se rétrécit, les échantillons du signal d'entrée qui sont plus éloignés reçoivent moins de poids que ceux proches. Troisièmement, les réponses d'étape sont des courbes lisses, plutôt que la ligne droite abrupte de la moyenne mobile. Ces deux derniers sont généralement d'un bénéfice limité, bien que vous pourriez trouver des applications où ils sont des avantages réels. Le filtre de la moyenne mobile et ses proches sont tous à peu près les mêmes pour réduire le bruit aléatoire tout en maintenant une réponse à l'échelon net. L'ambiguïté réside dans la façon dont le temps de montée de la réponse à l'échelon est mesuré. Si le temps de montée est mesuré de 0 à 100 de l'étape, le filtre de la moyenne mobile est le meilleur que vous pouvez faire, comme indiqué précédemment. En comparaison, la mesure du temps de montée de 10 à 90 rend la fenêtre de Blackman meilleure que le filtre de moyenne mobile. Le point est, ce n'est que des querelles théoriques considérer ces filtres égaux dans ce paramètre. La plus grande différence dans ces filtres est la vitesse d'exécution. En utilisant un algorithme récursif (décrit ci-dessous), le filtre de la moyenne mobile fonctionnera comme une foudre dans votre ordinateur. En fait, c'est le filtre numérique le plus rapide disponible. Les passes multiples de la moyenne mobile seront proportionnellement plus lentes, mais toujours très rapides. En comparaison, les filtres Gaussien et Blackman sont terriblement lents, car ils doivent utiliser la convolution. Pensez un facteur de dix fois le nombre de points dans le noyau du filtre (basé sur la multiplication étant environ 10 fois plus lent que l'addition). Par exemple, attendez-vous à un Gaussien de 100 points pour être 1000 fois plus lent que la moyenne mobile en utilisant la récursivité. Lissage supprime les variations à court terme, ou quotnoisequot pour révéler la forme sous-jacente sous-jacente importante des données. Igoracutes Smooth opération exécute boîte, quotbinomialquot, et Savitzky-Golay lissage. Les différents algorithmes de lissage convertissent les données d'entrée avec des coefficients différents. Le lissage est une sorte de filtre passe-bas. Le type de lissage et la quantité de lissage modifient la réponse de fréquence de filtrage: Moyenne mobile (alias lissage de boîte) La forme la plus simple de lissage est la moyenne quotmoving qui remplace simplement chaque valeur de données par la moyenne des valeurs voisines. Pour éviter de déplacer les données, il est préférable de faire la moyenne du même nombre de valeurs avant et après l'endroit où la moyenne est calculée. Dans la forme d'équation, la moyenne mobile est calculée par: Un autre terme pour ce genre de lissage est quotsliding moyenquot, quotbox smoothingquot, ou quotboxcar smoothingquot. Il peut être mis en œuvre en convolvant les données d'entrée avec une impulsion en forme de boîte de valeurs 2M1 toutes égales à 1 (2M1). Nous appelons ces valeurs les quotcoefficientsquot du noyau quotsmoothing: Binomial Smoothing Le lissage binomial est un filtre gaussien. Il convertit vos données avec des coefficients normalisés dérivés du triangle Pascalacutes à un niveau égal au paramètre Smoothing. L'algorithme est dérivé d'un article de Marchand et Marmet (1983). Savitzky-Golay Smoothing Le lissage Savitzky-Golay utilise un ensemble différent de coefficients précomprimés populaires dans le domaine de la chimie. C'est un type de lissage polynomial des moindres carrés. La quantité de lissage est contrôlée par deux paramètres: l'ordre polynomial et le nombre de points utilisés pour calculer chaque valeur de sortie lissée. Références Marchand, P. et L. Marmet, Filtre de lissage binomial: un moyen d'éviter certains pièges de lissage polynomial à moindres carrés, Rev. Sci. Instrum. . 54. 1034-41, 1983. Savitzky, A. et M. J.E. Golay, Lissage et différenciation des données par des procédures simplifiées par moindres carrés, Analytical Chemistry. 36. 1627-1639, 1964.Documentation Cet exemple montre comment utiliser les filtres à moyenne mobile et le rééchantillonnage pour isoler l'effet des composantes périodiques de l'heure du jour sur les relevés de température horaire, ainsi que pour éliminer le bruit de ligne indésirable d'une mesure de tension en boucle ouverte. L'exemple montre également comment lisser les niveaux d'un signal d'horloge tout en préservant les bords en utilisant un filtre médian. L'exemple montre également comment utiliser un filtre Hampel pour supprimer des valeurs aberrantes importantes. Motivation Smoothing est la façon dont nous découvrons des modèles importants dans nos données tout en laissant de côté les choses qui sont sans importance (à savoir le bruit). Nous utilisons le filtrage pour effectuer ce lissage. L'objectif du lissage est de produire des changements de valeur lents afin que son plus facile de voir les tendances dans nos données. Parfois, lorsque vous examinez les données d'entrée, vous pouvez lisser les données afin de voir une tendance dans le signal. Dans notre exemple, nous avons un ensemble de mesures de température en Celsius prises toutes les heures à l'aéroport de Logan pour tout le mois de janvier 2011. Notez que nous pouvons visualiser l'effet que l'heure du jour a sur les relevés de température. Si vous n'êtes intéressé que par la variation quotidienne de la température au cours du mois, les fluctuations horaires ne contribuent qu'au bruit, ce qui peut rendre les variations quotidiennes difficiles à discerner. Pour supprimer l'effet de l'heure, nous aimerions maintenant lisser nos données en utilisant un filtre de moyenne mobile. Un filtre de moyenne mobile Dans sa forme la plus simple, un filtre de moyenne mobile de longueur N prend la moyenne de chaque N échantillons consécutifs de la forme d'onde. Pour appliquer un filtre de moyenne mobile à chaque point de données, nous construisons nos coefficients de notre filtre de sorte que chaque point est pondéré de façon égale et contribue 124 à la moyenne totale. Cela nous donne la température moyenne sur chaque période de 24 heures. Délai de filtrage Notez que la sortie filtrée est retardée d'environ douze heures. Ceci est dû au fait que notre filtre de moyenne mobile a un retard. Tout filtre symétrique de longueur N aura un retard de (N-1) 2 échantillons. Nous pouvons tenir compte de ce délai manuellement. Extraire les différences moyennes Nous pouvons également utiliser le filtre de la moyenne mobile pour obtenir une meilleure estimation de la façon dont l'heure du jour affecte la température globale. Pour ce faire, soustrayez d'abord les données lissées des mesures de température horaire. Ensuite, segmenter les données différenciées en jours et prendre la moyenne sur tous les 31 jours du mois. Extraction de l'enveloppe de pointe Nous aimerions parfois avoir une estimation variable de la façon dont les hauts et les bas de notre signal de température changent tous les jours. Pour ce faire, nous pouvons utiliser la fonction enveloppe pour relier les hauts et les bas extrêmes détectés sur un sous-ensemble de la période de 24 heures. Dans cet exemple, nous nous assurons qu'il ya au moins 16 heures entre chaque extrême haut et extrême bas. Nous pouvons également avoir une idée de la façon dont les hauts et les bas sont tendance en prenant la moyenne entre les deux extrêmes. Filtres moyens mobiles pondérés D'autres types de filtres à moyenne mobile ne pondent pas de façon égale chaque échantillon. Un autre filtre commun suit l'expansion binomiale de (12,12) n Ce type de filtre se rapproche d'une courbe normale pour de grandes valeurs de n. Il est utile pour filtrer le bruit à haute fréquence pour n petits. Pour trouver les coefficients pour le filtre binomial, convoluez 12 12 avec lui-même puis convertissez itérativement la sortie avec 12 12 un nombre prescrit de fois. Dans cet exemple, utilisez cinq itérations totales. Un autre filtre un peu similaire au filtre d'expansion gaussien est le filtre de moyenne mobile exponentielle. Ce type de filtre de moyenne mobile pondéré est facile à construire et ne nécessite pas une grande taille de fenêtre. Vous ajustez un filtre de moyenne mobile exponentiellement pondéré par un paramètre alpha entre zéro et un. Une valeur plus élevée de alpha aura moins de lissage. Zoom sur les lectures pour une journée. Sélectionnez votre pays